√5 Rasyonel Bir Sayı Mıdır? İzmir’den Bir Sayının Peşine Düşmek
İzmir’de yaşayan 25 yaşında biri olarak hayatımın büyük bölümünde iki farklı insanı aynı bedende taşıyorum. Bir tarafım arkadaş ortamında en basit olayı bile komedi malzemesine çevirmeye hazır. Diğer tarafım ise gece yatağa girince “Acaba markette kasiyere teşekkür ederken ses tonum garip miydi?” diye düşünecek kadar detaycı.
Evet, bazen kendimi ben bile anlamıyorum.
Geçen gün arkadaşlarla Alsancak’ta otururken konu bir anda matematiğe geldi. Normal şartlarda bizim masada matematik konuşulmaz. Bizim matematik anlayışımız genelde hesap geldiğinde “Ben sadece çayı içtim” cümlesiyle sınırlıdır. Ama o gün biri telefonundan bir soru gösterdi:
“√5 rasyonel bir sayı mıdır?”
Masada birkaç saniyelik sessizlik oldu. O sessizlik var ya… Hani herkes biliyormuş gibi yapar ama aslında kimse emin değildir. İşte tam olarak o.
Ben de klasik refleksle:
“Tabii ki biliyorum, çocukluğumdan beri sayıların gizli dünyasını takip ediyorum.”
dedim.
İç sesim ise hemen araya girdi:
“Sen geçen hafta yüzde hesabında hesap makinesi kullandın, sakin ol.”
İşte bu yazının konusu da tam olarak burada başlıyor. √5 rasyonel bir sayı mıdır sorusu aslında sadece bir matematik sorusu değil. Biraz dikkat, biraz mantık ve biraz da “Ben bunu gerçekten biliyor muyum?” cesareti isteyen bir konu.
Rasyonel Sayı Nedir? Önce Sayılarla Tanışalım
Matematikte bazı sayılar düzenli, planlı ve kurallara uyan karakterler gibidir. Bunlara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayı, iki tam sayının birbirine bölümü şeklinde yazılabilen sayıdır.
Yani bir sayı:
a/b
şeklinde ifade edilebiliyorsa ve burada a ile b tam sayıysa (b sıfır olmamak şartıyla), bu sayı rasyoneldir.
Mesela:
1/2
3/4
-5/7
8
gibi sayılar rasyoneldir.
Hatta 8 sayısı ilk bakışta “Ben kesir değilim, beni karıştırmayın” diye köşede durabilir ama aslında kendisi de rasyoneldir. Çünkü:
8 = 8/1
şeklinde yazılabilir.
Bunu arkadaş grubunda anlatmaya çalıştığımda şöyle bir tepki aldım:
“Yani bütün sayıları illa bir yere bölüp mü kabul ediyoruz?”
Dedim ki:
“Matematik biraz böyle. İnsanlar da bazen kendini açıklamak için uzun uzun hikâye anlatıyor. Sayılar da kendini kesir olarak ifade ediyor.”
Bence sayıların da biraz kişilik problemi var.
√5 Sayısı Neden Merak Ediliyor?
√5, yani 5’in karekökü, yaklaşık olarak 2,2360679 şeklinde devam eden bir sayıdır. Buradaki önemli nokta şudur: Bu sayı sonsuza kadar gider ve tekrar eden belirli bir düzen oluşturmaz.
İlk bakışta insanın aklı karışıyor.
Çünkü √4 dediğimiz zaman cevap çok rahat:
√4 = 2
Çünkü 2’nin karesi 4’tür.
√9 dediğimiz zaman:
√9 = 3
Çünkü 3’ün karesi 9’dur.
Ama √5’e gelince sayı biraz naz yapıyor.
Sanki şöyle diyor:
“Beni bulmaya çalış ama tam yakalayamayacaksın.”
Bir İzmir akşamında arkadaşlarımla bunu konuşurken biri:
“5’in içinde 2 var, biraz da artıyor, işte 2 küsur bir şey.”
dedi.
Haklıydı ama matematikte “2 küsur bir şey” diye bir kategori yok. Keşke olsaydı. Hayatta birçok şeyi böyle çözerdik.
Telefon faturası mı fazla geldi?
“Biraz küsur bir şey olmuş.”
Sınavdan kaç aldın?
“Ortalama bir küsur bir şey.”
Ama matematik bu rahatlığı kabul etmiyor.
√5 Rasyonel Bir Sayı Mıdır? Cevabı Bulalım
Gelelim asıl soruya:
√5 rasyonel bir sayı mıdır?
Cevap: Hayır, √5 rasyonel değildir.
Yani √5 irrasyonel bir sayıdır.
Bunu anlamanın en güzel yollarından biri mantık yürütmektir. Diyelim ki √5 rasyonel olsun. O zaman:
√5 = a/b
şeklinde yazılabilir.
Burada a ve b aralarında sadeleşmiş tam sayılar olsun.
Şimdi her iki tarafın karesini alalım:
5 = a²/b²
Buradan:
a² = 5b²
sonucuna ulaşırız.
Bu bize şunu söyler: a² sayısı 5’in katıdır. Eğer bir sayının karesi 5’e bölünebiliyorsa, o sayının kendisi de 5’e bölünebilmelidir.
Yani:
a = 5k
gibi yazılabilir.
Bunu yerine koyarsak:
a² = 25k²
olur.
Ama başta:
a² = 5b²
demiştik.
Yerine koyunca:
25k² = 5b²
iki tarafı 5’e bölersek:
5k² = b²
çıkar.
Bu da b²’nin 5’in katı olduğunu gösterir. Yani b de 5’e bölünmelidir.
Ama burada bir problem var.
Başta a ve b’nin sadeleşmiş olduğunu söylemiştik. İkisinin de 5’e bölünebilmesi mümkün değil. Çünkü bu durumda ortak bölenleri olurdu.
İşte matematik burada bize küçük bir oyun yapıyor ve başlangıçtaki varsayımımızın yanlış olduğunu gösteriyor.
Yani √5 rasyonel değildir.
Matematikte Bazı Sayılar Neden “Düzene Girmez”?
Bazen sayılara insan gibi davranıyorum. Belki biraz fazla düşünüyorum ama gece yürürken bile aklıma geliyor.
Bazı insanlar vardır, her şeyi planlıdır. Sabah kaçta kalkacağı bellidir, kahvesini hangi kupada içeceği bellidir.
Bazıları da benim gibidir.
Alarm kurar.
Alarm çalar.
Alarmı kapatır.
Sonra neden geç kaldığını düşünür.
İrrasyonel sayılar da biraz böyle geliyor bana. Bir düzene sahipler ama bizim alıştığımız türden bir düzen değil.
Rasyonel sayılar daha “ben buradayım, kendimi açıklayabilirim” derken, irrasyonel sayılar biraz daha gizemlidir.
√5 de bu gizemli gruptadır.
Arkadaş Ortamında √5 Muhabbeti Nasıl Geçer?
Bir gün bunu arkadaşlara anlatmaya çalışırken küçük bir sahne yaşandı.
Ben:
“√5 irrasyoneldir çünkü kesir şeklinde tam olarak ifade edilemez.”
Arkadaşım:
“Yani fakir sayı mı?”
Ben:
“Ne alakası var?”
Arkadaşım:
“Tam sayı değil, yarım yamalak kalmış gibi.”
Bazen arkadaşlarımın matematiğe yaklaşımı gerçekten yaratıcı oluyor.
Ama aslında güzel tarafı şu: Matematik sadece formüllerden ibaret değil. Bir konuyu anlamanın en iyi yollarından biri onu günlük hayata bağlamak.
Mesela √5’in rasyonel olmaması, bize her şeyin kolayca sınıflandırılamayacağını gösteriyor.
Hayatta da böyle değil mi?
Bir insanı sadece ilk izlenimine göre değerlendiremeyiz.
Bir şarkıyı ilk dinleyişte anlayamayız.
Bir şehri birkaç günde tanıyamayız.
Bazı şeyler zaman ister.
Tıpkı √5 gibi.
√5 Rasyonel Bir Sayı Mıdır Sorusu Neden Önemlidir?
Belki bazıları şöyle düşünebilir:
“Tamam, √5 rasyonel değilmiş. Günlük hayatımda ne değişecek?”
Aslında çok şey.
Bu tarz sorular bize matematiksel düşünme alışkanlığı kazandırır. Sadece sonucu ezberlemek yerine nedenini anlamayı öğretir.
Çünkü matematikte asıl değer çoğu zaman cevapta değil, cevaba giderken kullanılan düşünme yolundadır.
Bir problemi çözerken sabırlı olmayı öğreniriz.
Bir şey hemen anlaşılmadığında pes etmemeyi öğreniriz.
Hatta bazen yanlış düşündüğümüzü kabul etmeyi öğreniriz.
Bu sonuncusu özellikle zor.
Çünkü insan bazen kendi fikrine fazla bağlanıyor.
Ben de arkadaş arasında bir konuda yanlış çıktığım zaman önce:
“Yok ya, orada farklı bir detay var.”
diyorum.
Sonra beş dakika sonra:
“Tamam, haklısınız.”
diyorum.
Ama o beş dakika boyunca içimde küçük bir mahkeme kuruluyor.
Sonuç: √5 Gizemli Ama Önemli Bir Sayıdır
Özetlemek gerekirse:
√5 rasyonel bir sayı mıdır?
Hayır. √5 rasyonel değildir, yani irrasyonel bir sayıdır.
Çünkü iki tam sayının oranı şeklinde tam olarak ifade edilemez. Ondalık gösterimi sonsuza kadar devam eder ve belirli bir tekrar düzeni oluşturmaz.
Ama bence √5’in en güzel tarafı burada başlıyor.
Bize matematiğin sadece net cevaplardan oluşmadığını gösteriyor. Bazı sayılar vardır, onları anlamak için biraz daha düşünmek gerekir.
Tıpkı insanlar gibi.
İlk bakışta herkes kolay anlaşılır görünür ama biraz yakından bakınca herkesin kendine ait karmaşık bir tarafı vardır.
İzmir’de sahilde yürürken bazen denize bakıp saçma sapan şeyler düşündüğüm oluyor. Mesela geçen gün aklımdan şu geçti:
“Acaba insanlar da sayılar gibi sınıflandırılabilir mi?”
Sonra kendi kendime güldüm.
Çünkü bazı insanlar kesinlikle tam sayı değil.
Bazıları kesir gibi.
Bazıları karmaşık sayı gibi.
Bazıları da √5 gibi…
Anlaması biraz zor ama öğrendikçe daha ilginç hale gelenlerden.
Belki de matematiğin eğlenceli tarafı tam olarak burada saklıdır. Sayılar bize sadece hesap yapmayı değil, düşünmeyi de öğretir.